必要性:设数列是公差为的等差数列,则: ==-=0, ∴(n=1,2,3,…)成立; 又=6(常数)(n=1,2,3,…) ∴数列为等差数列. 充分性:设数列是公差为的等差数列,且(n=1,2,3,…), ∵……① ∴……② ①-②得:= ∵ ∴……③ 从而有……④ ④-③得:……⑤ ∵,,, ∴由⑤得:(n=1,2,3,…), 由此,不妨设(n=1,2,3,…),则(常数) 故……⑥ 从而……⑦ ⑦-⑥得:, 故(常数)(n=1,2,3,…), ∴数列为等差数列. 综上所述:为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…). |