（14分）已知数列为方向向量的直线上，（I）求数列的通项公式；（II）求证：（其中e为自然对数的底数）；（III）记求证：

题型：不详难度：来源：

（14分）已知数列为方向向量的直线上，（I）求数列的通项公式；（II）求证：（其中e为自然对数的底数）；
（III）记
求证：

答案

（Ⅰ） （Ⅱ）略  （III）略

解析

由题意， 
 为首项，为公比的等比数列。  
（Ⅱ）证明：

构造辅助函数
单调递增，令则

 
（III）证明：


时，


（当且仅当n=1时取等号）。 
另一方面，当时，




（当且仅当时取等号）。
（当且仅当时取等号）。综上所述，有