已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足a1=12，an=-2SnSn-1(n≥2)（1）证明：数列{1Sn}为等差数列；（2）求Sn及an．

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n．且满足a1=

1

2

，an=-2SnSn-1(n≥2)
（1）证明：数列{

1

Sn

}为等差数列；
（2）求S_n及a_n．

答案

解（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)，
∴{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=2为首项，2为公差的等差数列．
（2）∵数列{

1

Sn

}为等差数列，
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n，
即Sn=

1

2n

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)=-

1

2n(n-1)

，
∴an=

1 2 - 1 2n(n-1)

(n=1) (n≥2)

．