设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2-2an（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列{1Tn}是等差数列；（Ⅱ）设bn=（1-an）（1-an+1），求数列{bn}的

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{

1

Tn

}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）∵T_n=2-2a_n
∴T₁=2-2T₁
∴T1=

2

3

∴

1

T1

=

3

2

（1分）
由题意可得：Tn=2-2

Tn

Tn-1

 ⇒T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），
所以

1

Tn

-

1

Tn-1

=

1

2

（6分）
∴数列{

1

Tn

}是以

1

2

为公差，以

3

2

为首项的等差数列
（Ⅱ）∵数列{

1

Tn

}为等差数列，
∴

1

Tn

=

n+2

2

，
∴an=

n+1

n+2

，（8分）
∴bn=

1

(n+2)(n+3)

（10分），
∴Sn=

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

(n+2)×(n+3)

=(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

（12分）