数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,(n=1,2,3…).(Ⅰ) 当a2=-1时,求实数λ及a3;(Ⅱ)是否存在实数λ,使得数列{an}为
题型:海淀区二模难度:来源:
数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,(n=1,2,3…). (Ⅰ) 当a2=-1时,求实数λ及a3; (Ⅱ)是否存在实数λ,使得数列{an}为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由; (Ⅲ)求数列{an}的通项公式. |
答案
(Ⅰ)∵a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2, ∴λ=,故a3=-a2+2 , 所以a3=.…(3分) (Ⅱ)∵a1=2,an+1=(λ-3)an+2n ∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4…(4分) a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16…(5分) 若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0…(6分) ∵△=49-4×13<0∴方程没有实根,…(7分) 故不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列.…(8分) (Ⅲ)∵an+1=(λ-3)an+2n,a1=2 若λ=3,则an=2n-1(n≥2); …(9分) 若λ≠3,∴an=(λ-3)an-1+2n-1 =(λ-3)[(λ-3)an-2+2n-2]+2n-1 =(λ-3){(λ-3)[(λ-3)an-3+2n-3]+2n-2}+2n-1 … =(λ-3)n-1a1+(λ-3)n-2•2+(λ-3)n-3•22+…+(λ-3)•2n-2+2n-1 =(λ-3)n-1•2+(λ-3)n-2•2+(λ-3)n-3•22+…+(λ-3)•2n-2+2n-1 (n≥2)…(11分) 则数列(λ-3)n-1•2,(λ-3)n-2•2,(λ-3)n-3•22,…,(λ-3)•2n-2,2n-1 从第二项起,是一个首项为2(λ-3)n-2,公比为的等比数列. 如果=1,即λ=5时,an=2(5-3)n-1+(n-1)(5-3)n-2•2=2n+(n-1)2n-1=(n+1)•2n-1; 当n=1时也成立. 如果≠1,即λ≠5时,an=2(λ-3)n-1+ =2(λ-3)n-1+ =(λ-3)n-1- 当n=1时也成立. 故数列{an}的通项公式为:当λ=3时,an=; 当λ=5时,an=(n+1)•2n-1; 当λ≠5且λ≠3时,an=(λ-3)n-1-.…(14分) 说明:其他正确解法按相应步骤给分. |
举一反三
数列{an} 中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成等比数列. (Ⅰ) 求c的值; (Ⅱ)求{an} 的通项公式; (Ⅲ)证明数列{}是等差数列. |
若实数a,b,c成公差不为0的等差数列,则下列不等式不成立的是( )A.|b-a+|≥2 | B.ab+bc+ca≥a2+b2+c2 | C.b2≥ac | D.|b|-|a|≤|c|-|b| |
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已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2S2是S1与3S3的等差中项,则数列{an}的公比为______. |
若数列{an}满足前n项之和Sn=2an-4(n∈N*),bn+1=an+2bn,且b1=2. (1)求证数列{}为等差数列; (2)求{bn}的前n项和Tn. |
等差数列{an}中,若a7-a3=20,则a2008-a2000=______. |
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