已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0,(n∈N*,n≥2),a1=1.(1)求证:数列{an2n}是等差数列;(2)若Sn=a1+a2+…+an,
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已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0,(n∈N*,n≥2),a1=1.(1)求证:数列{an2n}是等差数列;(2)若Sn=a1+a2+…+an,
题型:安徽模拟
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来源:
已知数列{a
n
}满足a
n
-2a
n-1
-2
n-1
=0,(n∈N
*
,n≥2),a
1
=1.
(1)求证:数列
{
a
n
2
n
}
是等差数列;
(2)若S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
,且S
n
+2
n
>100恒成立,求n的最小值.
答案
(1)a
n
-2a
n-1
-2
n-1
=0,
∴
a
n
2
n
-
a
n-1
2
n-1
=
1
2
,
∴
{
a
n
2
n
}
是以
1
2
为首项,
1
2
为公差的等差数列. (4分)
(2)由(1):
a
n
2
n
=
1
2
+(n-1)×
1
2
,
∴a
n
=n•2
n-1
(6分)
∴S
n
=1•2°+2•2
1
+3•2
2
+…+n•2
n-1
①
则2S
n
=1•2
1
+2•2
2
+3•2
3
+…+n•2
n
②
①-②,得-S
n
=1+2
1
+2
2
+…+2
n-1
-n•2
n
=
1•(1-
2
n
)
1-2
-n•
2
n
=2
n
-1-n•2
n
,
∴S
n
=(n-1)•2
n
+1(9分)
由S
n
+2
n
>100,
即(n-1)•2
n
+1+2
n
>100恒成立,
得n•2
n
+1>100恒成立,
∵{n•2
n
}是单增数列,且4•2
4
+1=65,5•2
5
+1=161,
∴n
min
=5(12分)
举一反三
已知等差数列{a
n
},{b
n
}的前 n 项和为S
n
,T
n
,若对于任意的自然数n,都有
S
n
T
n
=
2n+3
3n+6
,则
a
7
b
5
+
b
7
+
a
3
b
4
+
b
8
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}为等差数列,a
3
+a
8
=22,a
6
=7,则a
5
=( )
A.20
B.25
C.10
D.15
题型:不详
难度:
|
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已知数列a
n
是等差数列,S
n
是a
n
的前n项和,a
3
+a
4
+a
5
=-6,a
8
=6,则( )
A.S
6
<S
5
B.S
5
=0
C.S
6
=S
5
D.S
11
=22
题型:眉山一模
难度:
|
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已知数列{x
n
}的首项x
1
=3,通项x
n
=2
n
p+np(n∈N*,p,q为常数),且成等差数列.求:
(Ⅰ)p,q的值;
(Ⅱ)数列{x
n
}前n项和S
n
的公式.
题型:浙江
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,已知a
2
-a
4
=2,则点(n,a
n
)一定在( )
A.斜率为-1的直线上
B.斜率为-2的直线上
C.斜率为1的直线上
D.斜率为2的直线上
题型:不详
难度:
|
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