设函数f(x)=x-1x，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．m＜0B．m≤0C．m≤-1D．m＜-1

题型：单选题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=x-

1

x

，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜0

B．m≤0

C．m≤-1

D．m＜-1

答案

由f（mx）+mf（x）＜0得mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，
整理得：2mx＜(m+

1

m

) 

1

x

，即2mx2＜m+

1

m

恒成立．
①当m＞0时，2x2＜1+ 

1

m2

，因为y=2x²在x∈[1，+∞）上无最大值，因此此时不合题意；
②当m＜0时，2x2＞1+

1

m2

，因为y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+

1

m2

＜2，即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
综合可得：m＜-1．
故选D．