已知数列{an}及其前n项和Sn满足:a1=3,Sn=2Sn-1+2n(n≥2,n∈N*). (1)证明:设bn=Sn2n,{bn}是等差数列; (2)求Sn
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已知数列{an}及其前n项和Sn满足:a1=3,Sn=2Sn-1+2n(n≥2,n∈N*). (1)证明:设bn=Sn2n,{bn}是等差数列; (2)求Sn
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}及其前n项和S
n
满足:a
1
=3,S
n
=2S
n-1
+2
n
(n≥2,n∈N*).
(1)证明:设b
n
=
S
n
2
n
,{b
n
}是等差数列;
(2)求S
n
及a
n
.
答案
(本题满分14分)
(1)∵
S
n
-2
S
n-1
=
2
n
∴
S
n
2
n
-
S
n-1
2
n-1
=1
(n≥2)…(4分)
设
b
n
=
S
n
2
n
则{b
n
}是公差为1的等差数列 …(6分)
(2)又∵
b
1
=
S
1
2
=
a
1
2
=
3
2
,
∴
S
n
2
n
=n+
1
2
,
∴
S
n
=(n+
1
2
)
2
n
…(9分)
当n≥2时,
a
n
=
s
n
-
s
n-1
=(2n+3)
2
n-2
…(12分)
∴
a
n
=
3
(2n+3)
2
n-2
(n=1)
(n≥2)
S
n
=(n+
1
2
)
2
n
…(14分)
举一反三
已知数列{a
n
}是等差数列,若它的前n项和S
n
有最大值,且
a
11
a
10
<-1
,则使S
n
>0成立的最小自然数n的值为( )
A.10
B.19
C.20
D.21
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足
a
n+1
=
2
a
n
a
n
+2
(n∈N
*
),
a
2011
=
1
2011
.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)若
b
n
=
4
a
n
-4023
且
c
n
=
b
2n+1
+
b
2n
2
b
n+1
b
n
(n∈
N
*
)
,求证:c
1
+c
2
+…+c
n
<n+1.
题型:江西模拟
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}中,各项都是正数,且
3
a
1
,
1
2
a
3
,2
a
2
成等差数列,则
a
7
a
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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设各项均不为0的数列{a
n
}的前n项之乘积是b
n
,且λa
n
+b
n
=1(λ∈R,λ>0)
(1)探求a
n
、b
n
、b
n-1
之间的关系式;
(2)设λ=1,求证{
1
b
n
}是等差数列;
(3)设λ=2,求证:b
1
+b
2
+…+b
n
<
2
3
.
题型:不详
难度:
|
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过圆x
2
+y
2
-10x=0内一点(5,3),有一组弦的长度组成等差数列,最小弦长为该数列的首项a
1
,最大弦长为数列的末项a
11
,则a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
的值是( )
A.10
B.18
C.45
D.54
题型:不详
难度:
|
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