已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=2-an-22n(n∈N*)(1)求出a1的值,并用n与an表示出an+1(2)求证存在一个等比数列{bn},使得{a
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已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=2-an-22n(n∈N*)(1)求出a1的值,并用n与an表示出an+1(2)求证存在一个等比数列{bn},使得{a
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
,满足
S
n
=2-
a
n
-
2
2
n
(n∈
N
*
)
(1)求出a
1
的值,并用n与a
n
表示出a
n+1
(2)求证存在一个等比数列{b
n
},使得{a
n
b
n
}是一个公差为3的等差数列
(3)试直接写出
b
n
+
300
n
a
n
(n∈
N
*
)
的最小值.
答案
(1)由条件,n=1时,S
1
=2-a
1
-1,解得
a
1
=
1
2
;
∵
S
n
=2-
a
n
-
2
2
n
①,∴
S
n+1
=2-
a
n+1
-
2
2
n+1
②,
②-①,得
S
n+1
-
S
n
=(2-
a
n+1
-
2
2
n+1
)
-
(2-
a
n
-
2
2
n
)
,即
a
n+1
=
a
n
-
a
n+1
+
1
2
n
,
所以
a
n+1
=
1
2
a
n
+
1
2
n+1
;
(2)证明:∵
a
n+1
=
1
2
a
n
+
1
2
n+1
,∴
2
n+1
a
n+1
-
2
n
a
n
=1
,
则
3×
2
n+1
a
n+1
-3×
2
n
a
n
=3,
令
b
n
=3×
2
n
,∵
b
n+1
b
n
=2
对一切n∈N
*
恒成立,
所以存在等比数列{b
n
},使得{a
n
b
n
}是一个公差为3的等差数列;
(3)
b
n
+
300
n
a
n
(n∈N
*
)的最小值为
123
2
,
由(2)知
2
n+1
a
n+1
-
2
n
a
n
=1
,所以{2
n
a
n
}为公差为1的等差数列,2
n
a
n
=1+(n-1)•1=n,
所以
a
n
=
n
2
n
,又
b
n
=3×
2
n
,
所以
b
n
+
300
n
a
n
=3×2
n
+
300
2
n
≥2
3×
2
n
×
300
2
n
=60
,
当
3×
2
n
=
300
2
n
即2
n
=10时取等号,
由于n∈N
*
,且n=3时
3×
2
3
+
300
2
3
=
123
2
,n=4时,
3×
2
4
+
300
2
4
=
259
4
,
所以所求最小值为
123
2
.
举一反三
设等差数列{a
n
}的各项均为整数,其公差d≠0,a
5
=6.
(Ⅰ)若a
2
•a
10
>0,求d的值;
(Ⅱ)若a
3
=2,且
a
3
,
a
5
,
a
n
1
,
a
n
2
,…,
a
n
t
,…
(5<n
1
<n
2
<…<n
t
<…)成等比数列,求n
t
;
(Ⅲ)若
a
3
,
a
5
,
a
n
1
,
a
n
2
,…,
a
n
t
,…
(5<n
1
<n
2
<…<n
t
<…)成等比数列,求n
1
的取值集合.
题型:西城区一模
难度:
|
查看答案
已知实数a是x,3x的等差中项,则x=( )
A.a
B.
a
3
C.
a
2
D.
a
4
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列{a
n
}的首项为4,公差为4,其前n项和为S
n
,则数列 {
1
S
n
}的前n项和为( )
A.
n
2(n+1)
B.
1
2n(n+1)
C.
2
n(n+1)
D.
2n
n+1
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=2,a
3
=3,a
n+2
=
a
2n+1
+
(-1)
n
a
n
(n≥2)
(Ⅰ)求a
4
,a
5
;
(Ⅱ)是否存在实数λ,使得数列{a
n+1
-λa
n
}(n∈N
*
)是等差数列?若存在,求出所有满足条件的λ的值;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)写出数列{a
n
}中与987相邻的后一项(不需要过程)
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列{a
n
}的首项a
1
及公差d都是实数,且满足
S
2
S
4
2
+
S
23
9
+2=0
,则d的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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