设等差数列{an}的各项均为整数,其公差d≠0,a5=6.(Ⅰ)若a2•a10>0,求d的值;(Ⅱ)若a3=2,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…(5
题型:西城区一模难度:来源:
设等差数列{an}的各项均为整数,其公差d≠0,a5=6. (Ⅰ)若a2•a10>0,求d的值; (Ⅱ)若a3=2,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…(5<n1<n2<…<nt<…)成等比数列,求nt; (Ⅲ)若a3,a5,an1,an2,…,ant,…(5<n1<n2<…<nt<…)成等比数列,求n1的取值集合. |
答案
(Ⅰ)因为等差数列{an}的各项均为整数,所以d∈Z.(1分) 由a2•a10>0,得(a5-3d)(a5+5d)>0,即(3d-6)(5d+6)<0,解得-<d<2. 注意到d∈Z,且d≠0,所以d=-1,或d=1.(3分) (Ⅱ)由a3=2,a5=6,得d==2, 从而an=a3+(n-3)d=2+(n-3)×2=2n-4,故ant=2nt-4.(5分) 由a3,a5,an1,an2,,ant,成等比数列,得此等比数列的公比为=3, 从而ant=a3•3t+1=2•3t+1. 由2nt-4=2•3t+1,解得nt=3t+1+2,t=1,2,3,.(7分) (Ⅲ)由d==,得an1=a3+(n1-3)d=a3+. 由a3,a5,an1,an2,,ant,成等比数列,得an1==. 由a3+=,化简整理得n1=5+.(9分) 因为n1>5,从而a3>0, 又n1∈Z且d≠0,从而a3是12的非6的正约数,故a3=1,2,3,4,12.(10分) ①当a3=1或a3=3时,a4=∉Z, 这与{an}的各项均为整数相矛盾,所以,a3≠1且a3≠3.(11分) ②当a3=4时,由=a3•an1⇒an1=9, 但此时an2=∉Z,这与{an}的各项均为整数相矛盾,所以,a3≠4.(12分) ③当a3=12时,同理可检验an2∉Z,所以,a3≠12.(13分) 当a3=2时,由(Ⅱ)知符合题意. 综上,n1的取值只能是n1=11,即n1的取值集合是{11}.(14分) |
举一反三
已知等差数列{an}的首项为4,公差为4,其前n项和为Sn,则数列 {}的前n项和为( ) |
已知数列{an}满足a1=a2=2,a3=3,an+2=(n≥2) (Ⅰ)求a4,a5; (Ⅱ)是否存在实数λ,使得数列{an+1-λan}(n∈N*)是等差数列?若存在,求出所有满足条件的λ的值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)写出数列{an}中与987相邻的后一项(不需要过程) |
已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是实数,且满足++2=0,则d的取值范围是______. |
已知等差数列{an}的公差d大于0,且满足a3a6=55,a2+a7=16.数列{bn}满足an=b1+++…+ (n∈N *). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=,求cn取得最大值时n的值. |
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