已知数列an,其前n项和为Sn=32n2+72n (n∈N*).(Ⅰ)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;(Ⅱ)如果数列bn满足an=log2bn

已知数列an,其前n项和为Sn=32n2+72n (n∈N*).(Ⅰ)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;(Ⅱ)如果数列bn满足an=log2bn

题型:不详难度:来源:
已知数列an,其前n项和为Sn=
3
2
n2+
7
2
n (n∈N*)

(Ⅰ)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;
(Ⅱ)如果数列bn满足an=log2bn,请证明数列bn是等比数列,并求其前n项和;
(Ⅲ)设cn=
9
(2an-7)(2an-1)
,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn
k
57
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.
答案
(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=5,(1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
3
2
[n2-(n-1)2]+
7
2
[n-(n-1)]
=
3
2
(2n-1)+
7
2
=3n+2
.(2分)
又a1=5满足an=3n+2,(3分)
∴an=3n+2(n∈N*).(4分)
∵an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(n≥2,n∈N*),
∴数列an是以5为首项,3为公差的等差数列.(5分)

(Ⅱ)由已知得bn=2an(n∈N*),(6分)
bn+1
bn
=
2an+1
2an
=2an+1-an=23=8
(n∈N*),(7分)
b1=2a1=32
∴数列bn是以32为首项,8为公比的等比数列.(8分)
∴数列bn前n项和为
32(1-8n)
1-8
=
32
7
(8n-1)
.(9分)

(Ⅲ)cn=
9
(2an-7)(2an-1)
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
(10分)
Tn=
1
2
[(
1
1
-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)++(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
.(11分)
Tn+1-Tn=
1
(2n+3)(2n+1)
>0
(n∈N*),
∴Tn单调递增.
(Tn)min=T1=
1
3
.(12分)
1
3
k
57
,解得k<19,因为k是正整数,∴kmax=18.(13分)
举一反三
若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是(  )
A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列
题型:不详难度:| 查看答案
已知各项均不为零的数列{an},定义向量


cn
=(anan+1)


bn
=(n,n+1)
,n∈N*.下列命题中真命题是(  )
A.若∀n∈N*总有


cn


bn
成立,则数列{an}是等差数列
B.若∀n∈N*总有


cn


bn
成立,则数列{an}是等比数列
C.若∀n∈N*总有


cn


bn
成立,则数列{an}是等差数列
D.若∀n∈N*总有


cn


bn
成立,则数列{an}是等比数列
题型:松江区三模难度:| 查看答案
设F1,F2分别是椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率;
(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程
题型:宁夏难度:| 查看答案
已知点(n,an)(n∈N*)都在直线3x-y-24=0上,那么在数列an中有a7+a9=(  )
A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a7•a9=0
题型:不详难度:| 查看答案
已知已知函数f(x)=
x
2x+1
,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).
(Ⅰ)求证:数列{
1
an
}
是等差数列;
(Ⅱ)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,试比较2Sn与1的大小.
题型:汕头模拟难度:| 查看答案
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