公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国
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公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,…以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. 求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. |
答案
T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式,得 Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an═a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2++an-1(1+r)+an,① 在①式两端同乘1+r,得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1++an-1(1+r)2+an(1+r)② ②-①,得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2++(1+r)]-an=[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an. 即Tn=(1+r)n-n-. 如果记An=(1+r)n,Bn=--n, 则Tn=An+Bn. 其中{An}是以(1+r)为首项,以1+r(r>0)为公比的等比数列; {Bn}是以--为首项,-为公差的等差数列. |
举一反三
在2,x,8,y四个数中,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求x和y. |
在等差数列{an}中a5+a6=6,a15+a16=26,那么a25+a26的值是______. |
数列{an}中,n≥2,且an=an-1-2,其前n项和是Sn,则有( )A.nan<Sn<na1 | B.na1<Sn<nan | C.Sn≥na1 | D.Sn≤nan |
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设数列{an}是公差为d的等差数列,a3+a5=2,S20=150,又bn=2an-2an+1(n∈N*) (1)求a1,d; (2)求证{bn}是等比数列,并求bn的通项公式; (3)设k为某自然数,且满足(bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=,求k的值. |
已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2•a3=45,a1=a4=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设由bn=(c≠0)构成的新数列为{bn},求证:当且仅当c=-时,数列{bn}是等差数列; (3)对于(2)中的等差数列{bn},设cn=(n∈N*),数列{cn}的前n项和为Tn,现有数列{f(n)},f(n)=Tn•(an+3-)•0.9n(n∈N*),是否存在n0∈N*,使f(n)≤f(n0)对一切n∈N*都成立?若存在,求出n0的值,若不存在,请说明理由. |
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