若数列{an}是等比数列,则下列命题正确的个数是(  )①{an2},{a2n}是等比数列   ②{lgan}是等差数列③{1an},{|an|}是等比数列  

若数列{an}是等比数列,则下列命题正确的个数是(  )①{an2},{a2n}是等比数列   ②{lgan}是等差数列③{1an},{|an|}是等比数列  

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若数列{an}是等比数列,则下列命题正确的个数是(  )
①{an2},{a2n}是等比数列   
②{lgan}是等差数列
③{
1
an
},{|an|}是等比数列   
④{can},{an±k}(k≠0)是等比数列.
A.4B.3C.2D.1
答案
若数列{an}是等比数列,且首项为a1,公比为q,则an=a1•qn-1
an2=a12•q2(n-1),这是一个以a12为首项,以q2为公比的等比数列,a2n=a1•q2n-1=a1q•q2(n-1)=a2•q2(n-1),这是一个以a2为首项,以q2为公比的等比数列,故①正确;
当q<0时,数列{an}存在负项,此时lgan无意义,故②错误;
1
an
=
1
a1
1
q
(n-1),这是一个以
1
a1
为首项,以
1
q
为公比的等比数列,|an|=|a1|•|q|n-1,这是一个以|a1|为首项,以|q|为公比的等比数列,故③正确;
当c=0时,can=0,此时数列{can}不是等比数列,当k=-a1时,a1+k=0,此时{an+k}不是等比数列,当k=a1时,a1-k=0,此时{an-k}不是等比数列,故④错误
故选C
举一反三
等差数列{an}中,前三项依次为
1
x+1
5
6x
1
x
,则a101=(  )
A.50
1
3
B.13
2
3
C.24D.8
2
3
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已知等差数列{an}的前项和为Sn,若M、N、P三点共线,O为坐标原点,且


ON
=a15 


OM
+a6


OP
(直线MP不过点O),则S20等于(  )
A.15B.10C.40D.20
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等差数列{an},{bn}的前n项各分别为Sn,Tn
Sn
Tn
=
3n-1
2n+3
,则
a9
b9
=______.
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在数列{an}中,Sn是数列{an}前n项和,a1=1,当n≥2时,2SnSn-1=-an
(I)求证:数列{
1
Sn
}
是等差数列;
(II)设bn=
Sn
2n+1
求数列{bn}的前n项和Tn
(III)是否存在自然数m,使得对任意自然数n∈N*,都有Tn
1
4
(m-8)
成立?若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由.
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(1)已知等差数列{an},bn=
a1+a2+a3+…+an
n
(n∈N*),求证:{bn}仍为等差数列;
(2)已知等比数列{cn},cn>0(n∈N*)),类比上述性质,写出一个真命题并加以证明.
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