已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…(1)证明:数列{n+1nSn}是等差数列,并求Sn;(2)设bn=S
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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…(1)证明:数列{n+1nSn}是等差数列,并求Sn;(2)设bn=S
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,
a
1
=
1
2
,
S
n
=
n
2
a
n
-n(n-1),n=1,2,…
(1)证明:数列
{
n+1
n
S
n
}
是等差数列,并求S
n
;
(2)设
b
n
=
S
n
n
3
,求证:b
1
+b
2
+…+b
n
<1.
答案
证明:(1)由
S
n
=
n
2
a
n
-n(n-1)
知,
当n≥2时:
S
n
=
n
2
(
S
n
-
S
n-1
)-n(n-1)
,…(1分)
即
(
n
2
-1)
S
n
-
n
2
S
n-1
=n(n-1)
,
∴
n+1
n
S
n
-
n
n-1
S
n-1
=1
,对n≥2成立. …(3分)
又
1+1
1
S
1
=1
∴{
n+1
n
S
n
}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴
n+1
n
S
n
=1+(n-1)•1
…(5分)
∴
S
n
=
n
2
n+1
…(6分)
(2)
b
n
=
S
n
n
3
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
…(8分)
∴
b
1
+
b
2
+…+
b
n
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…
1
n
-
1
n+1
=
1-
1
n+1
<1
…(12分)
举一反三
设数列{b
n
}满足
b
n+2
=-
b
n+1
-
b
n
,(n∈
N
*
),
b
2
=2
b
1
.
(I)若b
3
=3,求b
1
的值;
(II)求证数列{b
n
b
n+1
b
n+2
+n}是等差数列;
(III)设数列{T
n
}满足:
T
n+1
=
T
n
b
n+1
(n∈
N
*
)
,且
T
1
=
b
1
=-
1
2
,若存在实数p,q,对任意n∈N
*
都有p≤T
1
+T
2
+T
3
+…+T
n
<q成立,试求q-p的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}是首项为a
1
=4,公比q≠1的等比数列,且4a
1
,a
5
,-2a
3
成等差数列,求公比q的值.
题型:不详
难度:
|
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已知实数q≠0,数列{a
n
}的前n项和S
n
,a
1
≠0,对于任意正整数m,n且m>n,
S
n
-
S
m
=
q
m
S
n-m
恒成立.
(1)证明数列{a
n
}是等比数列;
(2)若正整数i,j,k成公差为3的等差数列,S
i
,S
j
,S
k
按一定顺序排列成等差数列,求q的值.
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}为等差数列,若a
3
+a
4
+a
8
=9,则S
9
=( )
A.24
B.27
C.15
D.54
题型:滨州一模
难度:
|
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在二项式
(
x
+
1
2
4
x
)
n
的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( )
A.
1
6
B.
1
4
C.
1
3
D.
5
12
题型:郑州二模
难度:
|
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