设数列{an}满足a1=0,4aa+1=4an+24an+1+1,令bn=4an+1.(1)试判断数列{bn}是否为等差数列?(2)若cn=1an+1,求{cn
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设数列{an}满足a1=0,4aa+1=4an+24an+1+1,令bn=4an+1.(1)试判断数列{bn}是否为等差数列?(2)若cn=1an+1,求{cn
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}满足
a
1
=0,4
a
a+1
=4
a
n
+2
4
a
n
+1
+1
,令
b
n
=
4
a
n
+1
.
(1)试判断数列{b
n
}是否为等差数列?
(2)若
c
n
=
1
a
n+1
,求{c
n
}前n项的和S
n
;
(3)是否存在m,n(m,n∈N
*
,m≠n)使得1,a
m
,a
n
三个数依次成等比数列?若存在,求出m,n;若不存在,说明理由.
答案
(1)由已知得
a
n+1
+
1
4
=
a
n
+
1
4
+
a
n
+
1
4
+
1
4
,
∴
4a
n+1
+=
4a
n
+1+2
4
a
n
+1
+1
,
∵
b
n
=
4
a
n
+1
所以b
n+1
2
=b
n
2
+2b
n
+1
∴b
n+1
=b
n
+1,
所以数列{b
n
}为等差数列;
(2)由(1)得:b
n+1
=b
n
+1且b
1
=1,∴b
n
=n,
即
4
a
n
+1
=n
,∴
a
n
=
n
2
-1
4
,
∴
c
n
=
1
a
n+1
=
4
n(n+2)
=2(
1
n
-
1
n+2
)
,
则
S
n
=
c
1
+
c
2
+… +
c
n
=2(1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
…+
1
n
-
1
n+2
)
=
2(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)=3-
2(2n+3)
(n+1)(n+2)
;
(3)设存在m,n满足条件,则有1•a
n
=a
m
2
∴
n
2
-1
4
=
(
m
2
-1
4
)
2
,
即4(n
2
-1)=(m
2
-1)
2
,
所以m
2
-1必为偶数,设为2t,
则n
2
-1=t
2
,∴n
2
-t
2
=1
∴(n-t)(n+t)=1,
∴有
n+t=1
n-t=1
或
n+t=-1
n-t=-1
,即n=1,t=0,
∴m
2
-1=2t=0,∴m=1与已知矛盾.
∴不存在m,n(m,n∈N
*
,m≠n)使得1,a
m
,a
n
三个数依次成等比数列.
举一反三
已知等差数列{a
n
}中,a
4
=3,a
6
=9,则该数列的前9项的和S
9
=______.
题型:不详
难度:
|
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等差数列的前三项为a-1,a+1,2a+3,则它的通项公式为______.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
6
=a
3
+a
8
,则S
9
=______.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,前m(m为奇数)项和为77,其中偶数项之和为33,且a
1
-a
m
=18,则a
7
=______.
题型:不详
难度:
|
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1
3
为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形的形状是______.
题型:不详
难度:
|
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