设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的公比q;(Ⅱ)求证:a3,a9,a6成等差数列;(Ⅲ)当am,as,(m,
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设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的公比q; (Ⅱ)求证:a3,a9,a6成等差数列; (Ⅲ)当am,as,(m,s,t∈[1,10],m,s,t互不相等)成等差数列时,求m+s+t的值. |
答案
(Ⅰ)当q=1时,S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1, ∵2S9≠S3+S6,∴S3,S9,S6不成等差数列,与已知矛盾, ∴q≠1.(2分) 由2S9=S3+S6得:2•=+,(4分) 即2(1-q9)=(1-q3)+(1-q6)⇒2q6-q3-1=0, ∴q3=-⇒q=-,q3=1⇒q=1(舍去),∴q=-(6分) (Ⅱ)∵2a9-a3-a6=2a1q8-a1q2-a1q5=a1q2(2q6-1-q3)=0, ∴2a9=a3+a6,∴a3,a9,a6成等差数列.(9分) (Ⅲ)S3,S9,S6成等差数列⇔2q6-q3-1=0⇔2q6=q3+1⇔2a1q6=a1q3+a1⇔2a7=a4+a1, ∴a1,a7,a4成GP或a4,a7,a1成GP,则m+s+t=12,(11分) 同理:a2,a8,a5成GP或a5,a8,a2成GP, 则m+s+t=15,a3,a9,a6成GP或a6,a9,a3成GP, 则m+s+t=18,a4,a10,a7成GP或a7,a10,a4成GP, 则m+s+t=21,∴m+s+t的值为12,15,18,21. (15分) |
举一反三
某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变成a2(1+r)n-2,….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. |
在等差数列{an}中a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77,若ak=13,则k=( ) |
Sn为等差数列{an} 的前n项和,如果a1006=2,那么S2011=______. |
在等差数列{an}中,a1,a3,a4成等比数列,则该等比数列的公比为______. |
已知{an}是公差不为0的等差数列,不等式x2-a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2},则an=______. |
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