某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…
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某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变成a2(1+r)n-2,….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. |
答案
(I)根据在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变成a2(1+r)n-2,…,我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2). (II)T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式,得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an,① 在①式两端同乘1+r,得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r).② ②-①,得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an,=[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an, 即Tn=(1+r)n-n- 如果记An=(1+r)n,Bn=-n-,则Tn=An+Bn. 其中{An}是以(1+r)为首项,以1+r(r>0)为公比的等比数列;{Bn}是以--为首项,-为公差的等差数列. |
举一反三
在等差数列{an}中a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77,若ak=13,则k=( ) |
Sn为等差数列{an} 的前n项和,如果a1006=2,那么S2011=______. |
在等差数列{an}中,a1,a3,a4成等比数列,则该等比数列的公比为______. |
已知{an}是公差不为0的等差数列,不等式x2-a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2},则an=______. |
已知{an}是等差数列,公差d>0,前n项和为Sn且满足a3•a4=117,a2+a5=22.对于数列{bn},其通项公式bn=,如果数列{bn}也是等差数列. (1)求非零常数C的值; (2)试求函数f(n)=(n∈N*)的最大值. |
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