已知f (x)=mx(m为常数,m>0且m≠1).设f (a1),f (a2),…,f (an),…(n∈N)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列
题型:蓝山县模拟难度:来源:
已知f (x)=mx(m为常数,m>0且m≠1).设f (a1),f (a2),…,f (an),…(n∈N)是首项为m2,公比为m的等比数列. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若bn=an f (an),且数列{bn}的前n项和为Sn,当m=3时,求Sn; (3)若cn=f(an)lgf (an),问是否存在m,使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)由题意f (an)=m2•mn-1,即man=mn+1. ∴an=n+1,∴an+1-an=1,∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由题意bn=anf (an)=(n+1)•mn+1, 当m=3时,bn=(n+1)•3n+1,∴Sn=2•32+3•33+4•34+…+(n+1)•3n+1…①, ①式两端同乘以3得,3Sn=2•33+3•34+4•35+…+(n+1)•3n+2…② ②-①并整理得, 2Sn=-2•32-33-34-35-…-3n+1+(n+1)•3n+2=-32-(32+33+34+35+…+3n+1)+(n+1)•3n+2 =-32-+(n+1)•3n+2=-9+ (1-3n)+(n+1)•3n+2=(n+)3n+2-. ∴Sn=(2n+1)3n+2-. (3)由题意cn=f (an)•lg f (an)=mn+1•lgmn+1=(n+1)•mn+1•lgm, 要使cn≥cn+1对一切n∈N*成立,即(n+1)•mn+1•lgm≥(n+2)•mn+2•lgm,对一切n∈N*成立, 当m>1时,lgm>0,所以n+1≥m(n+2),即m≤对一切n∈N*成立, 因为=1-的最小值为,所以m≤,与m>1不符合,即此种情况不存在. ②当0<m<1时,lgm<0,所以n+1≤m(n+2),即m≥对一切n∈N*成立,所以≤m<1. 综上,当≤m<1时,数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项. |
举一反三
已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为正偶数时,n的值可以是( ) |
已知非零实数a,b,c成等差数列,直线ax+by+c=0与曲线C: +=1 (m>0)恒有公共点,则实数m的取值范围为______. |
已知等差数列{an}的前n项和为sn=pm2-2n+q(p,q∈R),n∈N* (I)求q的值; (Ⅱ)若a3=8,数列{bn}}满足an=4log2bn,求数列{bn}的前n项和. |
已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=______. |
已知等差数列{an}中,a1+a2+a3=2,a3+a4+a5=6,则a9+a10+a11的值为( ) |
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