设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记bn=nSnn2+c,n∈N*,其中c为实数.(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数
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设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记bn=nSnn2+c,n∈N*,其中c为实数.(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数
题型:江苏
难度:
来源:
设{a
n
}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),S
n
是其前n项和.记
b
n
=
n
S
n
n
2
+c
,n∈N
*
,其中c为实数.
(1)若c=0,且b
1
,b
2
,b
4
成等比数列,证明:
S
nk
=
n
2
S
k
(k,n∈N
*
);
(2)若{b
n
}是等差数列,证明:c=0.
答案
证明:(1)若c=0,则a
n
=a
1
+(n-1)d,
S
n
=
n[(n-1)d+2a]
2
,
b
n
=
n
S
n
n
2
=
(n-1)d+2a
2
.
当b
1
,b
2
,b
4
成等比数列时,则
b
2
2
=
b
1
b
4
,
即:
(a+
d
2
)
2
=a(a+
3d
2
)
,得:d
2
=2ad,又d≠0,故d=2a.
因此:
S
n
=
n
2
a
,
S
nk
=(nk
)
2
a=
n
2
k
2
a
,
n
2
S
k
=
n
2
k
2
a
.
故:
S
nk
=
n
2
S
k
(k,n∈N*).
(2)
b
n
=
n
S
n
n
2
+c
=
n
2
(n-1)d+2a
2
n
2
+c
=
n
2
(n-1)d+2a
2
+c
(n-1)d+2a
2
-c
(n-1)d+2a
2
n
2
+c
=
(n-1)d+2a
2
-
c
(n-1)d+2a
2
n
2
+c
. ①
若{b
n
}是等差数列,则{b
n
}的通项公式是b
n
=A
n
+B型.
观察①式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:
c
(n-1)d+2a
2
n
2
+c
=0
,即
c
(n-1)d+2a
2
=0
,而
(n-1)d+2a
2
≠0
,
故c=0.
经检验,当c=0时{b
n
}是等差数列.
举一反三
若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a=______.
题型:重庆
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,
a
11
a
10
<-1,若它的前n项和S
n
有最大值,则使S
n
取得最小正数的n=______.
题型:泗阳县模拟
难度:
|
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设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
m-1
=-2,S
m
=0,S
m+1
=3,则m=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
题型:不详
难度:
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已知首项为
3
2
的等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
(n∈N
*
),且-2S
2
,S
3
,4S
4
成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ) 证明
S
n
+
1
S
n
≤
13
6
(n∈N*)
.
题型:天津
难度:
|
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若数列{a
n
}是各项均为正数的等比数列,则当
b
n
=
n
a
1
a
2
…
a
n
时,数列{b
n
}也是等比数列;类比上述性质,若数列{c
n
}是等差数列,则当d
n
=______时,数列{d
n
}也是等差数列.
题型:宿迁一模
难度:
|
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