已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和,又14S4与16S6的等比中项是a17+1,14S4与16S6的等差中项是6,求an.

已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和,又14S4与16S6的等比中项是a17+1,14S4与16S6的等差中项是6,求an.

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已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和,又
1
4
S4
1
6
S6
的等比中项是


a17+1
1
4
S4
1
6
S6
的等差中项是6,求an
答案
1
4
S4
=
1
4
(4a1+6d)=
1
2
(2a1+3d),
1
6
S6
=
1
6
(6a1+15d)=
1
2
(2a1+5d),
1
4
S4
1
6
S6
的等比中项是


a17+1


a17+1
1
4
S4
1
6
S6
的等差中项是6,
1
4
S4
1
6
S6
=(


a17+1
2
1
4
S4
+
1
6
S6
=12,





1
2
(2a1+3d)•
1
2
(2a1+5d)=a1+16d+1①
1
2
(2a1+3d)+
1
2
(2a1+5d)=12②

由②整理得:a1+2d=6③,
将③代入①得:(12-d)(12+d)=24-8d+64d+4,
∴144-d2=56d+28,即d2+56d-116=0,
解得:d=2,d=-58<0(应舍去),
把d=2代入a1+2d=6,得a1=2,
∴an=2+2(n-1)=2n.
举一反三
做一个玩掷骰子放球游戏,若掷出1点,则在甲盒中放一个球;若掷出2点或3点,则在乙盒中放一个球;若掷出4点、5点或6点,则在丙盒中放一个球、设掷n次后,甲、乙、丙各盒内的球数分别为x、y、z、若n=3,求x、y、z成等差数列的概率.
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已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少相同的项?并求所有相同项的和.
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在平面直角坐标系中,已知三个点列{An},{Bn},{Cn},其中An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n-1,0),满足向量


AnAn+1
与向量


BnCn
共线,且点列{Bn}在斜率为6的直线上,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明数列{bn}是等差数列;
(Ⅱ)试用a1,b1与n表示an(n≥2);
(Ⅲ)设a1=a,b1=-a,在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项,试求实数 a的取值范围.
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等差数列{an}中,a1+a4+a10+a16+a19=150,则a18-2a14的值是 ______.
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设{an}为等差数列,从{a1,a2,a3,…,a10}中任取4个不同的数,使这4个数仍成等差数列,则这样的等差数列最多有______个.
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