已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少相同的项?并求所有相同项的和.
题型:不详难度:来源:
已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少相同的项?并求所有相同项的和. |
答案
解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11. ∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4, ∴{an}的公差d=3×4=12, ∴an=12n-1. 又∵5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399, ∴an=12n-1≤302,即n≤25.5. 又∵n∈N*, ∴两个数列有25个相同的项. 其和S25=11×25+×12=3875. 解法二:设5,8,11,与3,7,11,分别为{an}与{bn},则an=3n+2,bn=4n-1. 设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同, 即3n+2=4m-1,∴n=m-1. 又m、n∈N*,∴设m=3r(r∈N*), 得n=4r-1. 根据题意得 解得1≤r≤25(r∈N*). 从而有25个相同的项,且公差为12, 其和S25=11×25+×12=3875. |
举一反三
在平面直角坐标系中,已知三个点列{An},{Bn},{Cn},其中An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n-1,0),满足向量与向量共线,且点列{Bn}在斜率为6的直线上,n=1,2,3,…. (Ⅰ)证明数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)试用a1,b1与n表示an(n≥2); (Ⅲ)设a1=a,b1=-a,在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项,试求实数 a的取值范围. |
等差数列{an}中,a1+a4+a10+a16+a19=150,则a18-2a14的值是 ______. |
设{an}为等差数列,从{a1,a2,a3,…,a10}中任取4个不同的数,使这4个数仍成等差数列,则这样的等差数列最多有______个. |
设数列{an}、{bn}(bn>0,n∈N*),满足an=(n∈N*),证明:{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列. |
设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a4=5,则S7=______. |
最新试题
热门考点