设数列{an}、{bn}（bn＞0，n∈N*），满足an=lgb1+lgb2+…+lgbnn（n∈N*），证明：{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}、{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），满足a_n=

lgb1+lgb2+…+lgbn

n

（n∈N^*），证明：{a_n}为等差数列的充要条件是{b_n}为等比数列．

答案

证明：充分性：若{b_n}为等比数列，设公比为q，则a_n=

nlgb1+lg(q•q2qn-1)

n

=

nlgb1+lgq n(n-1) 2

n

=lgb₁+（n-1）lgq^

1

2

，a_n+1-a_n=lgq^

1

2

为常数，
∴{a_n}为等差数列．
必要性：由a_n=

lgb1+lgb2++lgbn

n

得na_n=lgb₁+lgb₂++lgb_n，（n+1）a_n+1=lgb₁+lgb₂++lgb_n+1，
∴n（a_n+1-a_n）+a_n+1=lgb_n+1．
若{a_n}为等差数列，设公差为d，
则nd+a₁+nd=lgb_n+1，
∴b_n+1=10^a1+2nd，b_n=10^a1+2(n-1)d．
∴

bn+1

bn

=10^2d为常数．
∴{b_n}为等比数列．