已知二项式(5x-1x)n,其中n∈N,n≥3.(1)若在展开式中,第4项是常数项,求n;(2)设n≤2012,在其展开式,若存在连续三项的二项式系数成等差数列
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已知二项式(5x-1x)n,其中n∈N,n≥3.(1)若在展开式中,第4项是常数项,求n;(2)设n≤2012,在其展开式,若存在连续三项的二项式系数成等差数列
题型:不详
难度:
来源:
已知二项式
(
5
x
-
1
x
)
n
,其中n∈N,n≥3.
(1)若在展开式中,第4项是常数项,求n;
(2)设n≤2012,在其展开式,若存在连续三项的二项式系数成等差数列,问这样的n共有多少个?
答案
(1)∵
T
4
=
C
3n
(
5
x
)
n-3
(-
1
x
)
3
=
C
3n
(-1
)
3
x
n-18
5
为常数项,
∴
n-18
5
=0,即n=18; …..(3分)
(2)连续三项的二项式系数分别为
C
k-1n
、
C
kn
、
C
k+1n
(1≤k≤n-1),
由题意
2
C
kn
=
C
k-1n
+
C
k+1n
,
依组合数的定义展开并整理得n
2
-(4k+1)n+4k
2
-2=0,
故
n
1,2
=
4k+1±
8k+9
2
,…..(6分)
则因为n为整数,并且8k+9是奇数,所以令8k+9=(2m+1)
2
⇒2k=m
2
+m-2,
代入整理得
n
1
=(m+1
)
2
-2
,
n
2
=
m
2
-2
,∵44
2
=1936,45
2
=2025,
故n的取值为44
2
-2,43
2
-2,…,3
2
-2,共42个. …..(10分)
举一反三
已知数列{a
n
},a
1
=1,a
n
=λa
n-1
+λ-2(n≥2).
(1)当λ为何值时,数列{a
n
}可以构成公差不为零的等差数列?并求其通项公式;
(2)若λ=3,令b
n
=a
n
+
1
2
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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如果等差数列{a
n
}中,a
3
+a
5
+a
7
=12,那么a
1
+a
2
+…+a
9
的值为( )
A.18
B.27
C.36
D.54
题型:揭阳模拟
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足
S
3
3
-
S
2
2
=1,则数列{a
n
}的公差是( )
A.
1
2
B.1
C.2
D.3
题型:三亚模拟
难度:
|
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设S
n
是公差不为0的等差数列{a
n
}的前n项和,且S
1
,S
2
,S
4
成等比数列.
(1)求
a
5
a
7
的值;
(2)若a
5
=3,求a
n
及S
n
的表达式.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:S
n
=t(S
n
-a
n
+1)(t>0),且4a
3
是a
1
与2a
2
的等差中项.
(Ⅰ)求t的值及数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=
2n+1
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:宿州三模
难度:
|
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