已知椭圆的焦点为F1(-t,0),F2(t,0),(t>0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项.(1)求椭圆方程;(2)如果点P
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已知椭圆的焦点为F1(-t,0),F2(t,0),(t>0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项. (1)求椭圆方程; (2)如果点P在第二象限且∠PF1F2=1200,求tan∠F1PF2的值; (3)设A是椭圆的右顶点,在椭圆上是否存在点M(不同于点A),使∠F1MA=90°,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)设椭圆方程为+=1,则2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2•2t,∴a=2t,b2=a2-c2=3t2, 所以所求椭圆方程为+=1. (2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2,则 | =+|F1F2|2-2d1|F1F2|cos1200 | d1+d2=4t. |
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解方程组,得d1=t,d2=t. 由正弦定理,得=,∴sin∠F1PF2=,∴tan∠F1PF2=. (3)若椭圆上存在一点M(x1,y1),使∠F1MA=90°,则|MF1|2+|MA|2=|AF1|2,即(x1+t)2+y12+(x1-2t)2+y12=(2t+t)2. 化简,得 x12+y12-tx1-2t2=0① 又 3t2x12+4t2y12=12t4② 由①、②,整理,得 x12-4tx1+4t2=0’,∴x1=2t,y1=0, 所以点M与右顶点A重合,矛盾.所以这样的M点是不存在的. |
举一反三
等差数列{an}中,a1+a4+a8+a12+a15=20,则S15=______. |
设数列{an}是公差为d的等差数列,m,n,p,q是互不相等的正整数,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.请你用类比的思想,对等差数列{an}的前n项和为Sn,写出类似的结论若______则______. |
已知集合A={a1,a2…an}(0≤a1<a2<…<an,n∈N*,n≥3)具有性质P:对任意i,j(1≤i≤j≤n),ai+aj与aj-ai至少一个属于A. (1)分别判断集合M={0,2,4}与N=(1,2,3)是否具有性质P,并说明理由; (2)①求证:0∈A;②求证:a1+a2+a3+…+an=an; (3)研究当n=3,4和5时,集合A中的数列{an}是否一定成等差数列. |
在2和30之间插入两个数,使前三个数成等比,后三个数成等差,求插入的两个数. |
已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+4,bn=. (1)求公差d的值; (2)若a1=-,求数列{bn}中的最大项和最小项的值; (3)若对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取值范围. |
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