已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列,公差d∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.(1)若a1=4,则d的取值集合为______;(2)若a

已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列,公差d∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.(1)若a1=4,则d的取值集合为______;(2)若a

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已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列,公差d∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.
(1)若a1=4,则d的取值集合为______;
(2)若a1=2m(m∈N*),则d的所有可能取值的和为______.
答案
由题意可得,ap+aq=ak,其中p、q、k∈N*
由等差数列的通向公式可得a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=a1+(k-1),
整理得d=
a1
k-p-q+1

(1)若a1=4,则d=
4
k-p-q+1

∵p、q、k∈N*,公差d∈N*
∴k-p-q+1∈N*
∴d=1,2,4,
故d的取值集合为 {1,2,4};
(2)若a1=2m(m∈N*),则d=
2m
k-p-q+1

∵p、q、k∈N*,公差d∈N*
∴k-p-q+1∈N*
∴d=1,2,4,…,2m
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m=
1×(1-2m+1)
1-2
=2m+1-1,
故答案为(1){1,2,4},(2)2m+1-1.
举一反三
数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.
(1)求数列的公差;(2)求前n项和Sn的最大值;
(3)当Sn>0时,求n的最大值.
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△ABC的顶点为A(0,-2),C(0,2),三边长a、b、c成等差数列,则动点B的轨迹方程为______.
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等差数列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,求数列{an}前20项的和S20
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