在正项数列{an}中,令Sn=n∑i=11ai+ai+1.(Ⅰ)若{an}是首项为25,公差为2的等差数列,求S100;(Ⅱ)若Sn=nPa1+an+1(P为正
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在正项数列{an}中,令Sn=n∑i=11ai+ai+1.(Ⅰ)若{an}是首项为25,公差为2的等差数列,求S100;(Ⅱ)若Sn=nPa1+an+1(P为正
题型:盐城一模
难度:
来源:
在正项数列{a
n
}中,令S
n
=
n
∑
i=1
1
a
i
+
a
i+1
.
(Ⅰ)若{a
n
}是首项为25,公差为2的等差数列,求S
100
;
(Ⅱ)若
S
n
=
nP
a
1
+
a
n+1
(P为正常数)对正整数n恒成立,求证{a
n
}为等差数列;
(Ⅲ)给定正整数k,正实数M,对于满足a
1
2
+a
k+1
2
≤M的所有等差数列{a
n
},求T=a
k+1
+a
k+2
+…a
2k+1
的最大值.
答案
(Ⅰ)由题意,利用等差数列的公差为2,得到
1
a
i
+
a
i+1
=
a
i+1
-
a
i
2
,
所以
S
100
=
a
101
-
a
1
2
=
25+2×100
-
25
2
=5
.
(Ⅱ)证:令n=1得到
p
a
1
+
a
2
=
1
a
1
+
a
2
,则p=1.
由于S
n
=
n
∑
i=1
1
a
i
+
a
i+1
=
S
n
=
nP
a
1
+
a
n+1
(1),
S
n+1
=
n+1
∑
i=1
1
a
i
+
a
i+1
=
(n+1)P
a
1
+
a
n+2
(2),
(2)-(1),将p=1代入整理得
(n+1)
a
1
+
a
n+2
-
n
a
1
+
a
n+1
=
1
a
n+1
+
a
n+2
,
化简得(n+1)a
n+1
-na
n+2
=a
1
(3)
(n+2)a
n+2
-(n+1)a
n+3
=a
1
(4),
(4)-(3)得a
n+1
+a
n+3
=2a
n+2
对任意的n≥1都成立.
在(3)中令n=1得到,a
1
+a
3
=2a
2
,从而{a
n
}为等差数列.
(Ⅲ)记t=a
k+1
,公差为d,
则T=a
k+1
+a
k+2
+…a
2k+1
=(k+1)t+
k(k+1)
2
d
,则
T
k+1
=t+
kd
2
,M≥a
1
2
+a
k+1
2
=t
2
+(t-kd)
2
=
4
10
(t+
kd
2
)
2
+
1
10
(4t-3kd
)
2
≥
4
10
(t+
kd
2
)
2
=
2
5
(
T
k+1
)
2
则
T≤
(k+1)
10M
2
,
当且仅当
4t=3kd
M=
2
5
(t+
kd
2
)
2
,即
a
k+1
=t=3
M
10
d=
4
k
M
10
时等号成立.
举一反三
5和17的等差中项是______,4和9的等比中项是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设函数f(x)=x
2
+1,g(x)=x,数列{a
n
}满足条件:对于n∈N
*
,a
n
>0,且a
1
=1并有关系式:f(a
n
+1)-f(a
n
)=g(a
n+1
),又设数列{b
n
}满足b
n
=
log
a
a
n
+1
(a>0且a≠1,n∈N
*
).
(1)求证数列{a
n
+1}为等比数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(2)试问数列{
1
b
n
}是否为等差数列,如果是,请写出公差,如果不是,说明理由;
(3)若a=2,记c
n
=
1
(a
n
+1)
-b
n
,n∈N
*
,设数列{c
n
}的前n项和为T
n
,数列{
1
b
n
}的前n项和为R
n
,若对任意的n∈N*,不等式λnT
n
+
2R
n
a
n
+1
<2(λn+
3
a
n
+1
)
恒成立,试求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设数列{b
n
}的n项和为S
n
,且b
n
=1-2S
n
;数列{a
n
}为等差数列,且a
5
=14,a
7
=20,.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)若c
n
=a
n
•b
n
,n=1,2,3,…,T
n
为数列{c
n
}的前n项和.求证:T
n
<
7
4
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
=1,数列{a
n
+S
n
}是公差为2的等差数列.
(Ⅰ)求a
2
,a
3
;
(Ⅱ)证明数列{a
n
-2}为等比数列;
(Ⅲ)求数列{na
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为:x
1
,x
2
,…,x
n
,…,x
2008
;y
1
,y
2
,…,y
n
,…,y
2008
.
(1)①写出x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,②求数列{x
n
}的通项公式x
n
;
(2)写出y
1
,y
2
,y
3
,y
4
,由此猜想出数列{y
n
}的一个通项公式y
n
,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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