(1)证明:因为f(x)=x2+1,g(x)=x,所以f(an+1)-f(an)=2an+1, g(an+1)=an+1,由f(an+1)-f(an)=g(an+1),得an+1=2an+1, 即得an+1+1=2(an+1),且a1+1=2, 故数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,得an+1+1=2×2n-1=2n,…(4分) 因此数列{an}的通项为:an=2n-1,…(3分) (2)数列{}是等差数列,且公差为loga2,证明如下: 由bn=,得=,所以=, 故-==(常数), 所以数列数列{}是以=为首项,为公差的等差数列…(6分) (3)由a=2及(1)与(2)可知cn=,n∈N*,=n, 所以Rn=, Tn=+++…+ 故有Tn=+++…++ 两式相减,Tn=++++…+-=-=1--, 即Tn=2--=2-,n∈N*…(10分) 所以不等式不等式λnTn+<2(λn+),即为λn(2-)<2(λn+)
即(1-λ)n2+(1-λ)n-6<0恒成立.也即:λ>,n∈N*恒成立…(12分) 令f(n)=,. 则f(n)==1-=1-=1-, 由n+6≥7,得(n+6)+-10单调递增且大于0,∴f(n)单调递增,当n→+∞时,f(n)→1,且f(n)<1,故λ≥1,∴实数λ的取值范围是[1,+∞)…(14分) |