设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ)(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+

设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ)(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+

题型:江苏难度:来源:
设向量


a
=(4cosα,sinα),


b
=(sinβ,4cosβ),


c
=(cosβ,-4sinβ)

(1)若


a


b
-2


c
垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|


b
+


c
|
的最大值;
(3)若tanαtanβ=16,求证:


a


b
答案
(1)∵


b
-2


c
=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),


a


b
-2


c
垂直,
∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,
即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),
∴sin(α+β)=2cos(α+β),∴tan(α+β)=2.
(2)∵


b
+


c
=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),
∴|


b
+


c
|=


(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=


1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ
=


17-15sin2β

∴当sin2β=-1时,|


b
+


c
|取最大值,且最大值为


32
=4


2

(3)∵tanαtanβ=16,∴
sinα
cosα
sinβ
cosβ
=16
,即sinαsinβ=16cosαcosβ,
∴(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,


a
=(4cosα,sinα)与


b
=(sinβ,4cosβ)共线,


a


b
举一反三
已知向量


a


e
,|


e
|=1,对任意t∈R,恒有|


a
-t


e
|≥|


a
-


e
|,则(  )
A.


a


e
B.


a
⊥(


a
-


e
C.


e
⊥(


a
-


e
D.(


a
+


e
)⊥(


a
-


e
题型:不详难度:| 查看答案
已知向量


a
=(-3,4)
,向量


b
满足


b


a
,且|


b
|=2
,则


b
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在平面斜坐标系xoy中,∠xoy=135°,斜坐标定义:如果


OP
=x


e1
+y


e2
(其中


e1


e2
分别是x轴,y轴的单位向量),则(x,y)叫做P的斜坐标.已知P的斜坐标是(1,


2
),则|


OP
|
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知


a
=(1-t,1-t,t),


b
=(2,t,t)
,则|


a
-


b
|
的最小值是(  )
A.


5
5
B.


55
5
C.
3


5
5
D.
11
5
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c•a=1,c•b=1,|c|=


2
,则对任意的正实数t,|c+ta+
1
t
b|
的最小值是______.
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