数列{an}的前n项和记为Sn,at=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*.(Ⅰ)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(Ⅱ)在(Ⅰ)的结
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数列{an}的前n项和记为Sn,at=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*.(Ⅰ)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(Ⅱ)在(Ⅰ)的结
题型:青岛一模
难度:
来源:
数列{a
n
}的前n项和记为S
n
,a
t
=t,点(S
n
,a
n+1
)在直线y=2x+1上,n∈N
*
.
(Ⅰ)当实数t为何值时,数列{a
n
}是等比数列?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设b
n
=log
3
a
n+1
,T
n
是数列
{
1
b
n
•
b
n+1
}
的前n项和,求T
2011
的值.
答案
(本小题满分12分)
(Ⅰ)由题意得a
n+1
=2S
n
+1,a
n
=2S
n-1
+1(n≥2)(1分)
两式相减得a
n+1
-a
n
=2a
n
,即a
n+1
=3a
n
,(4分)
所以当n≥2时,{a
n
}是等比数列,
要使n≥1时,{a
n
}是等比数列,则只需
a
2
a
1
=
2t+1
t
=3,从而t=1.(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知a
n
=3
n-1
,b
n
=log
3
a
n+1
=n,(9分)
∴
1
b
n
•
b
n+1
=
1
(n+1)n
=
1
n
-
1
n+1
(10分)
T
2011
=
1
b
1
b
2
+…+
1
b
2011
b
2012
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
2011
-
1
2012
)
=
2011
2012
(12分)
举一反三
在1到100的自然数(含1和100)中有______个能被2或3整除的数.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}为等差数列,若
a
11
a
10
<-1
,且它们的前n项和S
n
有最大值,则使得S
n
>0的n的最大值为( )
A.11
B.19
C.20
D.21
题型:不详
难度:
|
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已知三个数a、b、c成等比数列,其积为8,又a、b、c-1成等差数列,求这三个数组成的数列.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}为等差数列,且a
1
=2,a
1
+a
2
+a
3
=12.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)令b
n
=3
a
n
,求证:数列{b
n
}是等比数列.
题型:不详
难度:
|
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成等差数列的三个数x、y、z,其和为-3,且x+y,y+z,z+x 成等比数列,求此三数.
题型:不详
难度:
|
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