已知函数f(x)=lnx+1x-1(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数;(Ⅱ)若x∈[2,6]f(x)=lnx+1x-1>l

已知函数f(x)=lnx+1x-1(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数;(Ⅱ)若x∈[2,6]f(x)=lnx+1x-1>l

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ln
x+1
x-1

(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数;
(Ⅱ)若x∈[2,6]f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)当n∈N*时,试比较f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)与2n+2n2的大小关系.
答案
(Ⅰ)由
x+1
x-1
>0
,解得x<-1或x>1,
∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=ln
-x+1
-x-1
=ln
x-1
x+1
=ln(
x+1
x-1
)-1=-ln
x+1
x-1
=-f(x)

f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数.(4分)
(Ⅱ)由x∈[2,6]时,f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,
x+1
x-1
m
(x-1)(7-x)
>0
,∵x∈[2,6]
∴0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]成立
令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈[2,6],由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7
∴0<m<7(8分)
(Ⅲ)f(2)+f(4)+f(6)++f(2n)=ln
3
1
×
5
3
×
7
5
××
2n+1
2n-1
=ln(2n+1)

构造函数h(x)=ln(1+x)-(x+
x2
2
)(x>0)

h′(x)=
1
x+1
-x-1=
-x2-2x
x+1

当x>0时,h"(x)<0,∴h(x)=ln(1+x)-(x+
x2
2
)
在(0,+∞)单调递减,
∴h(x)<h(0)=0(12分)
当x=2n(n∈N*)时,ln(1+2n)-(2n+2n2)<0∴ln(1+2n)<2n+2n2(14分)
举一反三
函数f(x)=x+
2
x+1
(x>0)
的最小值为 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞),且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y).
(I)求f(1),f(-1)的值;
(II)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(III)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=x2-x+k,若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1).
(1)确定k的值;
(2)求
[f(x)]2+9
f(x)
的最小值及对应的x值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知定义域为(-10,+10)的偶函数f(x)的一个单调递增区间是(2,6),关于函数y=f(2-x)
(1)一个递减区间是(4,8)
(2)一个递增区间式(4,8)
(3)其图象对称轴方程为x=2
(4)其图象对称轴方程为x=-2
其中正确的序号是(2)、(3).
题型:填空题难度:一般| 查看答案
f(x)=





x+2(x≤-1)
x2(-1<x<2)
2x(x≥2)
,若f(x)=3,则x=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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