已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）．（I）求f（1），f（-1）的值；（II）

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（II）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（III）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

答案

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0；
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
（3）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1
则f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2f（4）=2，
∴f（64）=f（4×16）=f（4）+f（16）=3
所以f（3x+1）+f（2x-6）=f[（3x+1）（2x-6）]=f（6x²-16x-6）≤3=f（64）
已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
所以f（0）＜f（6x²-16x-6）≤f（64）
即0＜6x²-16x-6≤64，解得：3＜x≤5．