已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. |
答案
(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an, 所以{an}是首项为1,公比为的等比数列, 所以an=. (2)证明:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,r∈N*),则2•=+,所以2•2r-q=2r-p+1.① 又因为p<q<r,所以r-q,r-p∈N*. 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,所以假设不成立,原命题得证. |
举一反三
等差数列{an}的前n项和为Sn,已知an-1+an+1-an2=0,S2n-1=38,则n=( ) |
△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则sinA+sinC的最大值为( ) |
在等差数列{an}中,a1+a2+a3=9,a6=11,则该数列的前7项的和是( ) |
在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4+a5=20,那么a3等于______. |
已知数列{an}中,当n∈N*时,有2an+1-3anan+1-an=0,且a1=,an≠0,则数列{an}的通项an=______. |
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