已知数列，如果数列满足，，其中，则称为的“生成数列”.（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇

题型：上海市模拟题难度：来源：

已知数列，如果数列满足，，其中，则称为的“生成数列”.
（1）若数列的“生成数列”是，求；
（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；
（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列，…，探究：数列是否为等差数列,并说明理由.

答案

（1）解：由题意得： ；；
；                       
. 
（2）证明：因为 ， ， ，……   ，                              
由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，
相加得……
即，.                                    
由于，
根据，数列是的“生成数列”       
（3）证明：设数列,,中后者是前者的“生成数列”.
欲证成等差数列，只需证明成等差数列，
即只要证明即可. 
由（2）中结论可知 ，




，
所以，，即成等差数列，
所以是等差数列.