(1)由题意可得:||+||=2•||=2>||, 由椭圆的定义可得:动点P的轨迹E是椭圆,且a=,c=1,∴b2=a2-c2=1, ∴动点P的轨迹E的方程为+y2=1. (2)①当直线l与x轴垂直时,l:x=1. 此时M(1,),N(1,-),以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为(1±,0),不合题意; ②当直线l与x轴既不垂直也不重合时,设l:y=k(x-1)(k≠0),设M(x1,y1),N(x2,y2). 联立,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, ∴x1+x2=,x1x2=. ∴MN的中点坐标为(,). 则线段MN的中垂线m的方程为y+=-(x-), 即m:y=-+, 则直线m与y轴的交点为Q(0,), 而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上, ∴QM⊥QN,即•=(x1,y1-)•(x2,y2-)=0, 整理得x1x2+y1y2-(y1+y2)+=0,(*) 由 | y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- | y1+y2=k(x1+x2-2)=- |
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代入(*)解得k=±1. 故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0. |