设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn-1+1,(n∈N,n≥2),①求数列{an}的通项公式;②设
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设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn-1+1,(n∈N,n≥2),①求数列{an}的通项公式;②设
题型:不详
难度:
来源:
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
2
=4,S
5
=30.数列{b
n
}满足b
1
=0,b
n
=2b
n-1
+1,(n∈N,n≥2),
①求数列{a
n
}的通项公式;
②设C
n
=b
n
+1,求证:{C
n
}是等比数列,且{b
n
}的通项公式;
③设数列{d
n
}满足
d
n
=
4
a
n
a
n+1
+
b
n
,求{d
n
}的前n项和为T
n
.
答案
①由a
2
=a
1
+d=4,S
5
=5a
1
+
5×4
2
d=30得:a
1
=2,d=2,
∴a
n
=2+2(n-1)=2n…(4分)
②∵b
n
=2b
n-1
+1,c
n
=b
n
+1,
∴
c
n
c
n-1
=
b
n
+1
b
n-1
+1
=
2(
b
n-1
+1)
b
n-1
+1
=2(n≥2,n∈N)
∴{c
n
}是以2为公比的等比数列.
又∵c
1
=b
1
+1=1,
∴c
n
=b
n
+1=1×2
n-1
=2
n-1
,
∴b
n
=2
n-1
-1…(9分)
③∵d
n
=
4
a
n
•
a
n+1
+b
n
=
4
2n•2(n+1)
+2
n-1
-1=(
1
n
-
1
n+1
)+2
n-1
-1,
∴T
n
=[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]+(1+2+2
2
+…+2
n-1
)-n
=(1-
1
n+1
)+
1
-2
n
1-2
-n
=2
n
-n-
1
n+1
(14分)
举一反三
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
10
=55,S
20
=210.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设
b
n
=
a
n
a
n+1
,是否存在m、k(k>m≥2,k,m∈N
*
),使得b
1
、b
m
、b
k
成等比数列.若存在,求出所有符合条件的m、k的值;若不存在,请说明理由.
题型:广州二模
难度:
|
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若三个数“lg3,lg6,lgx”依次成等差数列,则x=______.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,a
4
=14,前10项和S
10
=185.
(1)求a
n
;
(2)将{a
n
}中的第2
1
项,第2
2
项,…,第2
n
项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,已知a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=450,则a
2
+a
8
=______;它的前9项和S
9
=______.
题型:不详
难度:
|
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设{a
n
}是正数组成的数列,前n项和为S
n
且
a
n
=2
2
S
n
-2
;
(Ⅰ)写出数列{a
n
}的前三项;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项公式,并写出推证过程;
(Ⅲ)令
b
n
=
4
a
n
•
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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