数列{an}的前n项和为Sn，当n≥1时，Sn+1是an+1与Sn+1+2的等比中项．（Ⅰ）求证：当n≥1时，1Sn-1Sn+1=12；（Ⅱ）设a1=-1，求S

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+2的等比中项．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

；
（Ⅱ）设a₁=-1，求S_n的表达式；
（Ⅲ）设a₁=-1，且{

n

(pn+q)Sn

}是等差数列（pq≠0），求证：

p

q

是常数．

答案

（1）证明：由题意得，当n≥1时，

S

2n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)
⇒

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

．…（4分）
（2）由（1）得：

1

Sn+1

-

1

Sn

=-

1

2

及a₁=-1
可知：数列{

1

Sn

}是以-1为首项，以-

1

2

为公差的等差数列，
可求得：Sn=-

2

n+1

．…（8分）
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差数列，设公差为d．
则-n²-n=…=2dpn²+[2dq+2p（c₁-d）]n+2q（c₁-d），
所以c₁-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c₁-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，
所以

p

q

=1（常数）．…（13分）