已知数列a,b,c是各项均为正数的等差数列,公差为d(d>0),在a,b之间和b,c之间共插入n个实数,使得这n+3个数构成等比数列,其公比为q.(I)求证:|
题型:蚌埠二模难度:来源:
已知数列a,b,c是各项均为正数的等差数列,公差为d(d>0),在a,b之间和b,c之间共插入n个实数,使得这n+3个数构成等比数列,其公比为q. (I)求证:|q|>1; (II)若a=1,n=1,求d的值. |
答案
(1)由题意知qn+2=,c=a+2d, 又a>0,d>0,可得qn+2==1+>1 即|qn+2|>1,故|q|n+2>1,又n+2是正数,故|q|>1. (2)由a,b,c是首项为1、公差为d的等差数列,故b=1+d,c=1+2d, 若插入的这一个数位于a,b之间,则1+d=q2,1+2d=q3, 消去q可得(1+2d)2=(1+d)3,即d3-d2-d=0,其正根为d= 若插入的这一个数位于b,c之间,则1+d=q,1+2d=q3, 消去q可得1+2d=(1+d)3,即d3+3d2+d=0,此方程无正根. 故所求公差d= |
举一反三
数列{an}的前n项和为Sn=2an-2,数列{bn}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列{an}与{bn}的通项公式; (3)求证:+++…+<5. |
(文)公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列,则公比为( ) |
等差数列{an}中,a5=9,a3+a9=22. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若在数列{an}的每相邻两项an和an+1之间各插入一个数2n,使之成为新的数列{bn},Sn为数列{bn}的前n项的和,求S20的值. |
已知在等差数列{an}中,a2+a5=6,a3=2,则S4=______. |
一个等差数列第5项a5=10,且a1+a2+a3=3,则有( )A.a1=-2,d=3 | B.a1=2,d=-3 | C.a2=-3,d=2 | D.a3=3,d=-2 |
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