公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+2,S3=12+32.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;(Ⅱ)记bn=an-2,若
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公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+2,S3=12+32.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;(Ⅱ)记bn=an-2,若
题型:江苏模拟
难度:
来源:
公差d≠0的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知
a
1
=2+
2
,
S
3
=12+3
2
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式a
n
及其前n项和S
n
;
(Ⅱ)记
b
n
=
a
n
-
2
,若自然数η
1
,η
2
,…,η
k
,…满足1≤η
1
<η
2
<…<η
k
<…,并且
b
η
1
,
b
η
2
,…,
b
η
_
,…
成等比数列,其中η
1
=1,η
2
=3,求η
k
(用k表示);
(Ⅲ)记
c
n
=
S
n
n
,试问:在数列{c
n
}中是否存在三项c
r
,c
s
,c
t
(r<s<t,r,s,t∈N
*
)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)∵
a
1
=2+
2
,
S
3
=3
a
1
+3d=12+3
2
,∴d=2
所以
a
n
=2n+
2
,
S
n
=
n
2
+(
2
+1)n
(Ⅱ)由题意,b
n
=2n,首项b
1
=2,又数列
b
η
1
,
b
η
2
,,
b
η
_
,
的公比
q=
b
3
b
1
=3
∴
b
η
k
=2•
3
k-1
,又
b
η
k
=2
η
k
,∴η
k
=3
k-1
(Ⅲ)易知
c
n
=n+
2
+1
,假设存在三项c
r
,c
s
,c
t
成等比数列,则c
s
2
=c
r
•c
t
,
即
[s+(
2
+1)
]
2
=[r+(
2
+1)][t+(
2
+1)]
,
整理得
(2s-r-t)
2
=rt+r+t-
s
2
-2s
①当2s-r-t≠0时,
2
=
rt+r+t-
s
2
-2s
2s-r-t
,
∵r,s,t∈N
*
,∴
rt+r+t-
s
2
-2s
2s-r-t
是
有理数,这与
2
为无理数矛盾
②当2s-r-t=0时,则rt+r+t-s
2
-2s=0,从而
s
2
=rt
2s-r-t=0
,
解得r=t,这与r<t矛盾.
综上所述,不存在满足题意的三项c
r
,c
s
,c
t
举一反三
在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
-a
n
=2,则a
51
的值为______.
题型:不详
难度:
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已知等差数列{a
n
}满足:a
n+1
>a
n
(n∈N
*
),a
1
=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{b
n
}的前三项.
(Ⅰ)分别求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式a
n
,b
n
;
(Ⅱ)设
T
n
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+…+
a
n
b
n
(n∈
N
*
)
,若
T
n
+
2n+3
2
n
-
1
n
<c(c∈Z)
恒成立,求c的最小值.
题型:成都一模
难度:
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等差数列{a
n
},a
7
=40,d=8,a
1
=______.
题型:不详
难度:
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已知等差数列{a
n
}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为( )
A.a
n
=4n-3
B.a
n
=2n-1
C.a
n
=4n-2
D.a
n
=2n-3
题型:广州二模
难度:
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数列{a
n
}中,a
3
=2,a
7
=1,且数列{
1
a
n
+1
}是等差数列,则a
11
等于( )
A.
-
2
5
B.
1
2
C.
2
3
D.5
题型:黄冈模拟
难度:
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