已知点列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N)顺次为抛物线y=14x2上的点,过点Bn(n,bn)作抛物线y=14x2的切线交
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已知点列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N)顺次为抛物线y=14x2上的点,过点Bn(n,bn)作抛物线y=14x2的切线交
题型:蓝山县模拟
难度:
来源:
已知点列B
1
(1,b
1
),B
2
(2,b
2
),…,B
n
(n,b
n
),…(n∈N
)顺次为抛物线y=
1
4
x
2
上的点,过点B
n
(n,b
n
)作抛物线y=
1
4
x
2
的切线交x轴于点A
n
(a
n
,0),点C
n
(c
n
,0)在x轴上,且点A
n
,B
n
,C
n
构成以点B
n
为顶点的等腰三角形.
(1)求数列{a
n
},{c
n
}的通项公式;
(2)是否存在n使等腰三角形A
n
B
n
C
n
为直角三角形,若有,请求出n;若没有,请说明理由.
(3)设数列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n项和为S
n
,求证:
2
3
≤S
n
<
4
3
.
答案
(1)∵y=
1
4
x
2
,∴y′=
x
2
,y′|
x=n
=
n
2
,
∴点B
n
(n,b
n
)作抛物线y=
1
4
x2的切线方程为:y-
n
2
4
=
n
2
(x-n),
令y=0,则x=
n
2
,即a
n
=
n
2
;(3分)
∵点A
n
,B
n
,C
n
构成以点B
n
为顶点的等腰三角形,
∴a
n
+c
n
=2n,∴c
n
=2n-a
n
=
3n
2
(5分)
(2)若等腰三角形A
n
B
n
C
n
为直角三角形,则|A
n
C
n
|=2b
n
∴n=
n
2
2
,∴n=2,
∴存在n=2,使等腰三角形A
2
B
2
C
2
为直角三角形 (9分)
(3)证明:∵
1
a
n
•(
3
2
+
c
n
)
=
1
n
2
(
3
2
+
3n
2
)
=
1
3
4
n(n+1)
=
4
3
(
1
n
-
1
n+1
)(11分)
∴S
n
=
4
3
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)=
4
3
(1-
1
n+1
)<
4
3
又1-
1
n+1
随n的增大而增大,
∴当n=1时,S
n
的最小值为:
4
3
(1-
1
1+1
)=
2
3
,
∴
2
3
≤S
n
<
4
3
(14分)
举一反三
数列{a
n
}的各项均为正数,S
n
为其前n项和,对于任意n∈N
*
,总有a
n
,S
n
,a
n
2
成等差数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列{b
n
}的前n项和为T
n
,且
b
n
=
ln
n
x
a
2n
,求证:对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828…)和任意正整数n,总有T
n
<2;
(3)正数数列{c
n
}中,a
n+1
=(c
n
)
n+1
(n∈N
*
),求数列{c
n
}中的最大项.
题型:中山市模拟
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}是等差数列,且a
23
=49,a
32
=67.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(Ⅱ)该数列在20至50之间共有多少项?求出这些项的和.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设{a
n
}为递增等差数列,S
n
为其前n项和,满足a
1
a
3
-a
5
=S
10
,S
11
=33.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
及前n项和S
n
;
(2)试求所有的正整数m,使
a
m+1
a
m+3
a
m+2
为正整数.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}为递增数列,且a
2
,a
5
是方程x
2
-12x+27=0的两根,数列{b
n
}的前n项和
T
n
=1-
1
2
b
n
;
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)若
c
n
=
3
n
•
b
n
a
n
•
a
n+1
,s
n
为数列{c
n
}的前n项和,证明:s
n
<1
题型:黄冈模拟
难度:
|
查看答案
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2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
…
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题型:不详
难度:
|
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