设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1,数列{bn}满足a1=b1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*.(Ⅰ)求数
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设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1,数列{bn}满足a1=b1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*.(Ⅰ)求数
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=1,a
n+1
=2S
n
+1,数列{b
n
}满足a
1
=b
1
,点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上,n∈N
*
.
(Ⅰ)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
c
n
=
b
n
a
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
答案
(Ⅰ)由a
n+1
=2S
n
+1可得a
n
=2S
n-1
+1(n≥2),
两式相减得a
n+1
-a
n
=2a
n
,
a
n+1
=3a
n
(n≥2).
又a
2
=2S
1
+1=3,
所以a
2
=3a
1
.
故{a
n
}是首项为1,公比为3的等比数列.
所以a
n
=3
n-1
.
由点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上,所以b
n+1
-b
n
=2.
则数列{b
n
}是首项为1,公差为2的等差数列.
则b
n
=1+(n-1)•2=2n-1
(Ⅱ)因为
c
n
=
b
n
a
n
=
2n-1
3
n-1
,所以
T
n
=
1
3
0
+
3
3
1
+
5
3
2
++
2n-1
3
n-1
.
则
1
3
T
n
=
1
3
1
+
3
3
2
+
5
3
2
++
2n-3
3
n-1
+
2n-1
3
n
,
两式相减得:
2
3
T
n
=1+
2
3
+
2
3
2
++
2
3
n-1
-
2n-1
3
n
.
所以
T
n
=3-
1
2•
3
n-2
-
2n-1
2•
3
n-1
=
3-
n+1
3
n-1
.
举一反三
数列{a
n
}中,已知a
1
=1,点(a
n
,a
n+1
)在直线x-y+2=0上,则a
n
的通项公式为______.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,a
2
=6,a
5
=15,则数列{a
n
}的通项公式为______.
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}为等差数列,且a
3
=-6,a
6
=0.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=|a
n
|,设数列{b
n
}的前n项和为S
n
,求S
6
和S
30
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的第二项为8,前10项和为185.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若从数列{a
n
}中,依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2
n
项,…,按原来顺序组成一个{b
n
}数列,试求数列{b
n
}的通项公式和前n项的和.
题型:不详
难度:
|
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若数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式______.
题型:不详
难度:
|
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