已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{1Sn}的前n

已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{1Sn}的前n

题型:惠州模拟难度:来源:
已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{
1
Sn
}
的前n项和为Tn,求证:
1
6
Tn
3
8
答案
(1)∵数列{an}是等差数列,
∴an=a1+(n-1)d,Sn=na1+
n(n-1)
2
d
.…(1分)
依题意,有





S5=70
a72=a2a22





5a1+10d=70
(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d).
…(3分)
解得a1=6,d=4.…(5分)
∴数列{an}的通项公式为an=4n+2(n∈N*).…(6分)
(2)证明:由(1)可得Sn=2n2+4n.…(7分)
1
Sn
=
1
2n2+4n
=
1
2n(n+2)
=
1
4
1
n
-
1
n+2
).…(8分)
∴Tn=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn-1
+
1
Sn

=
1
4
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n-1
-
1
n+1
)+(
1
n
-
1
n+2
)]…(9分)
=
1
4
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2

=
3
8
-
1
4
1
n+1
+
1
n+2
).…(10分)
∵Tn-
3
8
=-
1
4
1
n+1
+
1
n+2
)<0,
∴Tn
3
8
.…(11分)
∵Tn+1-Tn=
1
4
1
n+1
-
1
n+3
)>0,所以数列{Tn}是递增数列.…(12分)
∴Tn≥T1=
1
6
.…(13分)
1
6
≤Tn
3
8
.…(14分)
举一反三
已知函数f(x)=x2-2x+4,数列{an}是公差为d的等差数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)Sn为{an}的前n项和,求证:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
1
3
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}满足:a1=20,a2=7,an+2-an=-2(n∈N*).
(Ⅰ)求a3,a4,并求数列{an}通项公式;
(Ⅱ)记数列{an}前2n项和为S2n,当S2n取最大值时,求n的值.
题型:不详难度:| 查看答案
等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9
(I)求{an}的通项公式;
(II)设bn=
1
nan
,求数列{bn}的前n项和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
在-1和7之间插入三个数a、b、c使-1、a、b、c、7组成等差数列,则a+b+c的值为(  )
A.6B.9C.12D.15
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的首项为2,点(an,an+1)在函数y=x+2的图象上
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项之和为Sn,求证
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<1
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