已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=1a2n-1(n∈N*),记数列{
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已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=1a2n-1(n∈N*),记数列{
题型:成都模拟
难度:
来源:
已知数列{a
n
}是公差为2的等差数列,且a
1
+1,a
3
+1,a
7
+1成等比数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)令
b
n
=
1
a
2n
-1
(n∈
N
*
)
,记数列{b
n
}的前n项和为T
n
,求证:
T
n
<
1
4
.
答案
(I)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,因为a
1
+1,a
3
+1,a
7
+1成等比数列,所以有
(a
3
+1)
2
=(a
1
+1)(a
7
+1),即(a
1
+5)
2
=(a
1
+1)(a
1
+13),
解得:a
1
=3,所以a
n
=3+2(n-1)=2n+1;
(II)证明:由(I)知:a
n
=2n+1,所以
b
n
=
1
a
n
2
-1
=
1
(2n+1)
2
-1
=
1
4
•
1
n(n+1)
=
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)
,
所以
T
n
=
1
4
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)
=
1
4
(1-
1
n+1
)
=
1
4
-
1
4(n+1)
<
1
4
.
举一反三
各项都是正数的等比数列{a
n
}的公比q≠1,且a
2
,
1
2
a
3
,a
1
成等差数列,则
a
3
+
a
4
a
4
+
a
5
的值为( )
A.
5
+1
2
B.
5
-1
2
C.
1-
5
2
D.
5
+1
2
或
5
-1
2
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,对一切正整数n,点P
n
(n,S
n
)都在函数f(x)=x
2
+2x的图象上,且过点P
n
(n,S
n
)的切线的斜率为k
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式.
(2)若
b
n
=
2
k
n
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
(3)设Q={x|x=k
n
,n∈N
*
},R={x|x=2a
n
,n∈N
*
},等差数列{c
n
}的任一项c
n
∈Q∩R,其中c
1
是Q∩R中的最小数,110<c
10
<115,求{c
n
}的通项公式.
题型:肇庆二模
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
1
=1,a
7
=4,数列{b
n
}是等比数列,且b
1
=6,b
2
=a
3
,则满足b
n
a
26
<1的最小正整数n为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,若S
9
=18,a
n-4
=30,S
n
=240.则n等于( )
A.9
B.15
C.9或15
D.24
题型:淄博三模
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
5
+a
7
=16,a
3
=1,则a
9
=( )
A.15
B.30
C.-31
D.64
题型:不详
难度:
|
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