已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列
题型:肇庆二模难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若bn=2knan,求数列{bn}的前n项和Tn. (3)设Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式. |
答案
(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上, ∴Sn=n2+2n(n∈N*), 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1. 当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n+1(3分) (2)由f(x)=x2+2x求导可得f′(x)=2x+2 ∵过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn, ∴kn=2n+2. ∴bn=2knan=4•(2n+1)•4n. ∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43++4×(2n+1)×4n① 由①×4,得4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44++4×(2n+1)×4n+1② ①-②得:-3Tn=4[3×4+2×(42+43++4n)-(2n+1)×4n+1]=4[3×4+2×-(2n+1)×4n+1]∴Tn=•4n+2-.(8分) (3)∵Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},∴Q∩R=R. 又∵cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数, ∴c1=6. ∵{cn}是公差是4的倍数, ∴c10=4m+6(m∈N*). 又∵110<c10<115, ∴,解得m=27. 所以c10=114, 设等差数列的公差为d,则d===12, ∴cn=6+(n+1)×12=12n-6,所以{cn}的通项公式为cn=12n-6(14分) |
举一反三
在等差数列{an}中,a1=1,a7=4,数列{bn}是等比数列,且b1=6,b2=a3,则满足bna26<1的最小正整数n为( ) |
在等差数列{an}中,若S9=18,an-4=30,Sn=240.则n等于( ) |
在等差数列{an}中,a5+a7=16,a3=1,则a9=( ) |
已知函数f(x)=2x+log2x,数列{an}的通项公式是an=0.1n(n∈N),当|f(an)-2005|取得最小值时,n=______. |
{an}是公差为1的等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,Pn,Qn分别是{an},{bn}的前n项和,且a6=b3,P10=Q1+45. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若Pn>b6,求n的取值范围. |
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