记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；（2）记bn=an-2，若

题型：不详难度：来源：

记公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2+

2

，S₃=12+3

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）记b_n=a_n-

2

，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比数列，其中n₁=1，n₂=3，求n_k（用k表示）；
（3）试问：在数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

答案

（1）因为a₁=2+

2

，S₃=3a₁+3d=12+3

2

，所以d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+

2

，Sn=

n(a1+an)

2

=

n(2+ 2 +2n+ 2 )

2

=n2+(

2

+1)n；
（2）因为bn=an-

2

=2n，所以bnk=2n_k．
又因为数列{bnk}的首项bn1=b₁=2，
公比q=

bn2

bn1

=

3

1

=3，所以bnk=2•3k-1．
所以2n_k=2•3^k-1，即nk=3k-1．
（3）假设存在三项a_r，a_s，a_t成等比数列，则as2=ar•at，
即有(2s+

2

)2=(2r+

2

)(2t+

2

)，整理得(rt-s2)

2

=2s-r-t．
若rt-s²≠0，则

2

=

2s-r-t

rt-s2

，因为r，s，t∈N^*，所以

2s-r-t

rt-s2

是有理数，
这与

2

为无理数矛盾；
若rt-s²=0，则2s-r-t=0，从而可得r=s=t，这与r＜s＜t矛盾．
综上可知，不存在满足题意的三项a_r，a_s，a_t．