设t>0,数列{an}是首项为t,公差为2t的等差数列,其前n项和为Sn,若对于任意n∈N*,Snan>1-t恒成立,则t的取值范围是______.
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设t>0,数列{an}是首项为t,公差为2t的等差数列,其前n项和为Sn,若对于任意n∈N*,Snan>1-t恒成立,则t的取值范围是______.
题型:宁德模拟
难度:
来源:
设t>0,数列{a
n
}是首项为t,公差为2t的等差数列,其前n项和为S
n
,若对于任意n∈N
*
,
S
n
a
n
>
1-t
恒成立,则t的取值范围是______.
答案
∵数列{a
n
}是首项为t,公差为2t的等差数列
∴a
n
=t+(n-1)×2t=2tn-t
∴S
n
=
(
a
1
+
a
n
)n
2
=
(t+2tn-t)n
2
=tn
2
∴
S
n
a
n
=
t
n
2tn-t
=
n
2
t
n-
t
>
1-t
对于任意n∈N
*
恒成立,
即
(
n
2n-1
)
min
>
(1-t)t
令g(n)=
n
2n-1
,g"(n)=
2n-1-2n
(2n-1)
2
=
-1
(2n-1)
2
<0
∴g(n)=
n
2n-1
在[1,+∞)为单调减函数,则当n→∞时,g(n)→
1
2
∴
1
2
≥
(1-t)t
,且t>0解得0<t≤1
故答案为:0<t≤1
举一反三
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
-1,其中n=1,2,3,…,那么a
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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若{a
n
}为等差数列,a
3
=4,a
8
=19,则数列{a
n
}的前10项和为( )
A.230
B.140
C.115
D.95
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,已知a
5
=33,a
7
=153,求数列{a
n
}的公差d及前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
等差数列{a
n
}中,若a
1
+a
2
+a
3
=39,a
4
+a
5
+a
6
=27,则前9项的和S
9
等于( )
A.144
B.99
C.81
D.66
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
5
=3,a
6
=-2,则{a
n
}的前10项和S
10
=______.
题型:嘉定区一模
难度:
|
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