已直方程tan2x-433tanx+1=0在x∈[0,nπ),(n∈N*)内所有根的和记为an(1)写出an的表达式:(不要求严格的证明) (2)求Sn=a1
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已直方程tan2x-433tanx+1=0在x∈[0,nπ),(n∈N*)内所有根的和记为an(1)写出an的表达式:(不要求严格的证明) (2)求Sn=a1
题型:宁波模拟
难度:
来源:
已直方程
ta
n
2
x-
4
3
3
tanx+1=0
在x∈[0,nπ),(n∈N
*
)内所有根的和记为a
n
(1)写出a
n
的表达式:(不要求严格的证明)
(2)求S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
;
(3)设b
n
=(kn-5)π,若对任何n∈N
*
都有a
n
≥b
n
,求实数k的取值范围.
答案
(1)解方程得
tanx=
3
或
3
3
(1分)
∴当n=1时,
x=
π
3
或
π
6
,此时
a
1
=
π
2
(2分)
当n=2时,
x=
π
6
,
π
3
,
π
6
+π,
π
3
+π
,
∴
a
2
=
π
2
+(
π
2
+2π)
(3分)
依此类推:
a
n
=
π
2
+(
π
2
+2π)+…+[
π
2
+2(n-1)π]
∴
a
n
=(
n
2
-
n
2
)π
(5分)
(2)
S
n
=(
1
2
+
2
2
+…+
n
2
)π-
π
2
(1+2+…+n)
=
n(n+1)(2n+1)
6
π-
n(n+1)
4
π
=
n(n+1)(4n-1)
12
π
(9分)
(3)由a
n
≥b
n
得
(
n
2
-
n
2
)π≥(kn-5)π
∴
kn≤
n
2
-
n
2
+5
∵n∈N
*
∴
k≤n+
5
n
-
1
2
(11分)
设
f(n)=n+
5
n
-
1
2
易证f(n)在
(0,
5
)
上单调递减,在(
5
,+∞
)上单调递增. (13分)
∵n∈N
*
f(2)=4,f(3)=
25
6
∴n=2,f(n)
min
=4
∴k≤4(15分)
举一反三
在数列{a
n
}中,
a
n
=4n-
5
2
,
a
1
+
a
2
+…+
a
n
=A
n
2
+Bn
,n∈N
*
,其中A,B为常数,则A,B的积AB等于______.
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}是公差不为零的等差数列,a
1
=1,且a
1
,a
3
,a
9
成等比数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
=n
2
+n.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若
b
n
=
2
a
n
2
+n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
} 中,a
1
=1,前n项和S
n
满足条件
S
2n
S
n
=4,n=1,2,…
,
(Ⅰ)求数列{a
n
} 的通项公式和S
n
;
(Ⅱ)记b
n
=a
n
•2
n-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
=2n
2
-n,现从前项中抽掉某一项a
k
,余下20项的平均数为40,则k=______.
题型:不详
难度:
|
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