在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(1)求证:数列{an-n}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)求证:不等式
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在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (1)求证:数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn; (3)求证:不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N*皆成立. |
答案
(1)见解析(2) (3)见解析 |
解析
(1)证明:由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.又a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列. (2)解:由(1)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n,所以数列{an}的前n项和Sn= . (3)证明:对任意的n∈N*,Sn+1-4Sn= =- (3n2+n-4)≤0,所以不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N*皆成立. |
举一反三
已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是________. |
定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln(x). 其中是“保等比数列函数”的是__________.(填序号) |
已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前10项和为________. |
若数列{an}的前n项和为Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是an=________. |
等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=________. |
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