已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(1)若{an}为2,1,4,3,2
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已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(1)若{an}为2,1,4,3,2
题型:不详
难度:
来源:
已知{a
n
}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A
n
,第n项之后各项
,
…的最小值记为B
n
,d
n
=A
n
-B
n
.
(1)若{a
n
}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N
*
,
),写出d
1
,d
2
,d
3
,d
4
的值;
(2)设d为非负整数,证明:d
n
=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a
n
}为公差为d的等差数列;
(3)证明:若a
1
=2,d
n
=1(n=1,2,3…),则{a
n
}的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
答案
(1)
,
. (2)见解析 (3)见解析
解析
充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件,需要充分性和必要性两个方面叙述.
(1)
,
.
(2)充分性:因为
是公差为
的等差数列,且
,所以
,
因此
,
.
必要性:因为
,所以
.
又因为
,所以
.
于是
.
因此,
,即
是公差为
的等差数列.
(3)因为a
1
=2,d
n
=1,所以
,
,
故对任意
,
.
假设
,中存在大于2的项,
设m为满足
的的最小正整数,
则
,并且对任意
,
又因为a
1
=2,所以
,且
.
于是
.
故
,与
矛盾.
所以对于任意
,都有
,即非负整数数列
的各项只能为1或2,.
因为对任意
,
,
所以
.
故
因此,对于任意正整数
,存在
满足
,且
,即数列{a
n
}有无穷多项为1.
【考点定位】本题考查了数列的周期性,等差数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大,解答此题,需要非常强的分析问题和解决问题的能力.本题是一个信息题,考查了学生对知识的迁移能力.
举一反三
如图,互不相同的点
和
分别在角O的两条边上,所有
相互平行,且所有梯形
的面积均相等.设
若
则数列
的通项公式是____________.
题型:不详
难度:
|
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在2与32中间插入7个实数,使这9个实数成等比数列,该数列的第7项是
.
题型:不详
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|
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已知
是各项均为正数的等比数列,
,则
A.20
B.32
C.80
D.
题型:不详
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已知数列
满足
,
,则
的前10项和等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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已知数列
满足
则
的前10项和等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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