设数列的前项和为,且.(1)求(2)求证:数列是等比数列;(3)求数列的前项和.

设数列的前项和为,且.(1)求(2)求证:数列是等比数列;(3)求数列的前项和.

题型:不详难度:来源:
设数列的前项和为,且.
(1)求
(2)求证:数列是等比数列;
(3)求数列的前项和.
答案
(1)a1="3" a2="8" a3=18(2)见解析(3)Tn=(5n-5)·2n+5-2×
解析
(1)令n=1,2,3,根据求出
(2)根据,得到,两式相减可得
,所以,问题到此基本得以解决.
(3)在(2)的基础上,求出的通项公式,再根据通项公式的特点选用合适的数列求和的方法求和即可.
解:(1)由题意,当n=1时,得2a1=a1+3,解得a1=3
当n=2时,得2a2=(a1+a2)+5,解得a2="8"
当n=3时,得2a3=(a1+a2+a3)+7,解得a3="18"
所以a1=3,a2=8,a3=18为所求.·························· 3分
(2)因为2an=Sn+2n+1,所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立
两式相减得:2an+1-2an=an+1+2
所以an+1=2an+2(nN*),即an+1+2=2(an+2)
所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项,公比为2的等比数列·············· 7分
(3)由(2)得:an+2=5×2n-1,即an=5×2n-1-2(nN*)
则nan=5n·2n-1-2n(nN*)··························· 8分
设数列{5n·2n-1}的前n项和为Pn,
则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×(n-1)·2n-2+5×n·2n-1,········· 10分
所以2Pn=5×2×21+5×3×22+5×3×23+…+5(n-1)·2n-1+5×n·2n,
所以-Pn=5(1+21+22+…+2n-1)-5n·2n,
即Pn=(5n-5)·2n+5(nN*)·························· 12分
所以数列{n·an}的前n项和Tn=(5n-5)·2n+5-2×,
整理得,Tn=(5n-5)·2n-n2-n+5(nN*)   13分
举一反三
数列中,…是首项为1,公比为的等比数列,则等于(  )
A.B.C.D.

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在等比数列中,若,则____________
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(本题13分)已知,点在函数的图象上,其中
(1)证明数列是等比数列;
(2)设,求
(3)记,求数列的前n项和为Sn,并证明Sn<1
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已知等比数列{an}的首项为a,公比为 q,其前n项和为Sn用a和q表示Sn,并证明你的结论.
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已知在正项等比数列中,=     (   )
A.B.C.D.2

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