在数列{an}中，a1=4且对于任意的自然数n∈N+都有an+1=2（an-n+1）（I）证明数列{an-2n}是等比数列．（II）求数列{an}的通项公式及前

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在数列{a_n}中，a₁=4且对于任意的自然数n∈N⁺都有a_n+1=2（a_n-n+1）
（I）证明数列{a_n-2n}是等比数列．
（II）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

答案

（I）∵a_n+1=2（a_n-n+1）
∴

an+1-2(n+1)

an-2n

=

2(an-n+1)-2(n+1)

an-2n

=

2(an-2n)

an-2n

=2
∴数列{a_n-2n}是以a₁-2=2为首项，以2为公比的等比数列
（II）由（I）可得
a_n-2n=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ+2n
∴Sn=

2-2n+1

1-2

+

(2+2n)n

2

=2ⁿ⁺¹-2+n²+n